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L&M-1-2013 > Die Physik des Fußballes

Die Physik des Fußballes

Wann ist ein Ball im Tor?

„Im Fußball ist es wie in der Liebe. Was vorher ist, kann auch sehr schön sein, aber es ist nur Händchenhalten. Der Ball muss hinein!“
(Der Trainer und Kolumnist Max Merkel philosophiert über das Wesen des Fußballspiels)

Häufig erleben wir im Fußball umstrittene Torentscheidungen. War der Ball wirklich hinter der Linie? Das umstrittenste Tor der Fußballgeschichte ist wohl im WM-Finale 1966 gefallen und unter dem Namen „Wembley-Tor“ in die Annalen eingegangen. Auch im WM-Finale 2006 gab es zwei Entscheidungen dieser Art. Zinédine Zidane hat für Frankreich den ersten Elfmeter im Spiel lässig gegen die Unterkante der Latte gelupft. Von dort sprang er auf den Boden, wieder gegen die Latte und dann aus dem Tor heraus. Doch war dieser Ball wirklich im Tor? Im Elfmeterschießen hat David Trezeguet dann den entscheidenden Strafstoß gegen die Unterkante der Latte gehämmert. Der Ball sprang fast senkrecht nach unten auf den Rasen und von dort aus dem Tor heraus. War dieser Ball auch im Tor? Wir werden sehen, dass diese Fragen eigentlich nicht zu beantworten sind.

Die Regeln sind eindeutig

Die Regel 10 der offiziellen Fußballregeln, die der DFB im Jahr 2008 veröffentlicht hat, besagt: „Ein Tor ist gültig erzielt, wenn der Ball die Torlinie zwischen den Torpfosten und unterhalb der Querlatte in vollem Umfang überquert, ohne dass ein vorgängiges Vergehen des Teams vorliegt, das den Treffer erzielt hat.“ Diese Regel hört sich recht einfach an, besagt sie doch nur, dass sich ein Fußball von 22 cm Durchmesser um mehr als seinen Radius von 11 cm hinter der Torlinie befinden muss, wie in Abbildung 1 zu sehen ist. Da die Linie mit zum Spielfeld gehört, ist ein Ball also selbst dann nicht im Tor, wenn sich sein Mittelpunkt zwar vollständig, aber noch nicht mehr als 11 cm hinter der Torlinie befindet. Physikalisch könnte man es auch so ausdrücken: Nur wenn das letzte Atom des Balls hinter dem letzten Atom der Linie ist – erst dann ist er im Tor!

Die Realität ist aber schwierig

Selbst diese einfache Regel kann recht kompliziert werden, wie das folgende Beispiel aus der Bundesligasaison 2008/09 zeigt. Im Spiel des VfL Bochum gegen den VfB Stuttgart kam es am 26. Spieltag zu dieser Szene (Abb. 2). Das Foto stammt aus der Frankfurter Rundschau vom 6. April 2009. Schiedsrichter Fleischer entschied, dass der Bochumer Spieler Joël Epalle ein Tor erzielte, weil der Stuttgarter Keeper Jens Lehmann einen peinlichen Fehler beging und den Ball offensichtlich erst hinter der Linie zu fassen bekam. Alle waren sich einig, dass es sich um ein klares Tor handelte. Der Spieler Epalle ohnehin, der Torhüter Jens Lehmann protestierte nicht und die Reporter diverser Sportsendungen sprachen von einem „klaren Tor“. Die Frankfurter Rundschau schrieb sogar: „Hoppla: Jens Lehmann liegt mit Ball hinter der Linie.“ Die Lage ist ja auch eindeutig. Schließlich sieht man zwischen der Torlinie und dem Ball noch ein klitzekleines Stückchen des Rasens durchschimmern. Deswegen muss der Ball doch klar hinter der Linie liegen, oder? Die Lage sieht anders aus, wenn wir uns an die obige Regel 10 erinnern. Wenn wir bedenken, dass ein FIFAFußball einen Durchmesser von 22 cm hat, kann ein Ball also satte 11 cm hinter der Linie liegen und trotzdem noch nicht im Tor sein. Ein „klein wenig Ball“ befindet sich dann noch in der Luft auf der Höhe der Linie und das macht eben den Unterschied zwischen „Tor“ und „kein Tor“ aus. Bei einem kurz gemähten Rasen ist es nun durchaus möglich, dass man dann zwischen dem Ball und der Linie noch etwas von dem Grün sieht, obwohl der Ball noch nicht im Tor ist. Die Szene aus dem Spiel des VfL Bochum gegen den VfB Stuttgart ist also doch nicht so eindeutig, wie zuerst vermutet. Auf ein klares Tor kann man jedenfalls aus den Fernsehbildern nicht schließen!

Und noch mehr Probleme ...

Ein weiteres Problem mit der Regel ergibt sich, wenn der Ball nur kurz hinter der Linie aufprallt und dann aufgrund eines Dralls aus dem Tor springt. Dies ist beim WembleyTor und auch bei den beiden entscheidenden Elfmetern des WMFinales 2006 der Fall gewesen. Wir fragen uns nun, wie lange der Aufprall des Balls auf dem Boden überhaupt dauert. Dies ist immer dann wichtig, wenn er nur knapp hinter der Linie auf den Rasen springt und die Schiedsund Linienrichter dann blitzschnell entscheiden müssen, ob er „drin“ war. Wir versuchen daher jetzt, die Kontaktzeit tAufprall abzuschätzen. Wenn der Ball auf den Boden prallt, wird er dabei eingedrückt. Im Ball selbst muss laut DFBund FIFARegeln ein Überdruck zwischen 0,6 und 1,1 Atmosphären herrschen. Wir gehen bei den folgenden Betrachtungen von einem Druck von p = 0,8 bar im Ball aus. Wenn die Kontaktfläche des Balls mit dem Boden nun mit A bezeichnet wird und wir bedenken, dass Druck = Kraft pro Fläche ist, dann erhalten wir einerseits für die auf den Ball wirkende Kraft: F = p × A. Andererseits lautet das 2. Newton’scheAxiom Kraft = Masse × Beschleunigung, wobei Letztgenannte eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit ist. In der halben Kontaktzeit tAufprall / 2 ändert sich die Geschwindigkeit vom Ausgangswert v0 auf null. Dann ergibt sich also für die auf den Fußball der Masse m wirkende Kraft F = m × v0/(tAufprall /2). Im Prinzip könnten wir so schon die Aufprallzeit eines Fußballs auf dem Rasen berechnen.1 Allerdings gibt es noch das Problem, dass die Kontaktfläche A in der Regel nur schwer zu bestimmen ist. Auch wird es so sein, dass die Aufprallgeschwindigkeit v0 mit der Größe der Kontaktfläche A zusammenhängt. Wenn der Ball mit einer größeren Geschwindigkeit auf den Boden trifft, wird er stärker zusammengedrückt und die Kontaktfläche wird somit auch größer. Wir sind also noch nicht ganz fertig. Zunächst kann die Anfangsgeschwindigkeit v0 auch durch die senkrechte Strecke s, um die der Ball eingedrückt wird, und die Aufprallzeit tAufprall ausgedrückt werden: v0 = 4 × s / tAufprall. Wenn die senkrecht eingedrückte Strecke s des Balls klein ist, dann ergeben geometrische Überlegungen, dass die Aufprallfläche durch den Durchmesser d eines Fußballs und die Strecke s sehr einfach bestimmt ist: A = ? × d × s. Wie bereits erwähnt, muss ein Fußball laut Regelwerk einen Umfang zwischen 68 und 70 cm haben, was einen Durchmesser von etwa d = 22 cm ergibt. Für den Druck setzen wir p = 0,8 bar = 0,8 × 105 N/m2 und die Masse eines Fußballs darf zwischen 410 und 450 g liegen. Hier nehmen wir für die Berechnungen den maximalen Wert m = 450 g an. Mit diesen Zahlen ergibt sich für die Kontaktzeit eines Fußballs mit dem Rasen ein Wert von tAufprall ? 0,008 s. 2. Der Aufprall eines Fußballs dauert also weniger als eine Hundertstelsekunde! Nun ist es aber so, dass im besten Fall etwa fünf Hundertstelsekunden vergehen müssen, bis wir einen Seheindruck im Gehirn vollständig verarbeitet haben. Dies ist mehr als fünfmal länger als die Kontaktzeit des Balls mit dem Boden. Mit anderen Worten: Ein Schiedsoder Linienrichter kann gar nicht genau erkennen, ob der Ball wirklich knapp vor oder hinter der Linie aufprallt, da die Aufprallzeit deutlich kürzer als seine Wahrnehmungszeit ist! Er kann sich in solchen Fällen daher nur auf seine Erfahrung und Intuition verlassen. Dies sollte man immer berücksichtigen, wenn strittige Torszenen in Superzeitlupe von Reportern nachträglich seziert werden. Bedenkt man also, dass der Schiedsrichter viele strittige Szenen in Wirklichkeit gar nicht wahrnehmen kann, weil sie fünfmal schneller ablaufen, als sein Gehirn Seheindrücke verarbeitet, gibt es sogar erstaunlich wenige Fehlentscheidungen in der Fußballbundesliga.

Das Fazit

Ergänzt wird die einfache Regel 10 des DFB, die wir am Anfang zitiert hatten, übrigens durch die folgende Anweisung für den Schiedsrichter: „Bestehen Zweifel, ob der Ball vollständig im Tor war, soll der Schiedsrichter das Spiel weiterlaufen lassen.“ Unsere Ausführungen haben gezeigt, dass eigentlich immer Zweifel bestehen, weil es häufig recht kompliziert – wenn nicht sogar unmöglich – sein kann zu entscheiden, ob der Ball wirklich hinter der Linie war. Das WembleyTor hätte also nie gegeben werden dürfen, wenn der Schweizer Schiedsrichter Gottfried Dienst den Zusatz zur Regel 10 im Kopf gehabt hätte. Er tat aber trotzdem etwas Regelkonformes. Laut DFBund FIFARegeln gilt nämlich: „Ist der Schiedsrichter über eine Entscheidung im Zweifel, so befragt er den Linienrichter, ehe er die Entscheidung trifft.“ Gottfried Dienst fragte den sowjetischen Linienrichter Tofik Bährämov, der den Ball aus etwa 50 Metern Entfernung klar im Tor gesehen hatte …

Dieser Beitrag von Prof. Dr. Metin Tolan für labor&more ist ein Auszug aus seinem Buch „Manchmal gewinnt der Bessere. Die Physik des Fußballspiels.“ Erschienen im Piper Verlag 2011, ISBN: 9783492264921 1 Diese kann mit der Kraft vorher gleichgesetzt und nach der Aufprallzeit umgestellt werden, was die Formel tAufprall = 2 × m × v0 / (p × A) ergibt. 2 Nimmt man nun die Formeln für v0 und A und setzt sie in den Ausdruck für tAufprall ein, ergibt sich schließlich als Resultat für das Quadrat der Aufprallzeit eines Fußballs: (tAufprall)2 = 8 × m / (? × d × p). In diese Formel wurden die Zahlen eingesetzt.

Foto: © Prof. Dr. Metin Tolan

L&M 1 / 2013

Diese Artikel wurden veröffentlicht in Ausgabe L&M 1 / 2013.
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